Задача 64387

Темы:    [ Выпуклые многоугольники ] [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Автор: Френкин Б.Р.

В выпуклом многоугольнике из каждой вершины опущены перпендикуляры на все не смежные с ней стороны. Может ли оказаться так, что основание каждого перпендикуляра попало на продолжение стороны, а не на саму сторону?

Решение

Пусть AB – наибольшая сторона многоугольника. Спроецируем все вершины, отличные от A и B, на AB (см. рис.). Если ни одна из проекций не попадает на отрезок AB, то проекция некоторой стороны s, отличной от AB, строго содержит AB, следовательно,   s > AB.   Противоречие.

Ответ

Не может.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2013
класс
Класс	8
задача
Номер	8.3