Задача 64363

Темы:    [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Автор: Богданов И.И.

Из целых чисел от 0 до 1000 выбрали 101 число.
Докажите, что среди модулей их попарных разностей есть десять различных чисел, не превосходящих 100.

Решение

Пусть  a₀ < a₁ < ... < a₁₀₀  – выбранные числа, упорядоченные по возрастанию. Сумма десяти разностей  a₁₀ – a₀,  a₂₀ – a₁₀,  ..., a₁₀₀ – a₉₀  равна
a₁₀₀ – a₀ ≤ 1000,  поэтому одна из этих разностей не превосходит 100. Пусть это разность  a_10i+10 – a_10i;  тогда
0 < a_10i+1 – a_10i < a_10i+2 – a_10i < ... < a_10i+10 – a_10i ≤ 100.

Замечания

Если выбрать из чисел от 0 до 1000 все числа, кратные 10, то среди модулей их попарных разностей не найдётся десяти различных, не превосходящих 99.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2012-2013
этап
Вариант	5
класс
	1
Класс	11
задача
Номер	11.5