|
Название задачи: Многочлены Фибоначчи и Люка. |
 |
Условие
Вычислите несколько первых многочленов Фибоначчи и Люка (определения многочленов Фибоначчи и Люка смотри здесь).
Какие значения эти многочлены принимают при x = 1? Докажите, что многочлены Люка связаны с многочлены Фибоначчи соотношениями:
а) Ln(x) = Fn–1(x) + Fn+1(x) (n ≥ 1);
б) Fn(x)(x² + 4) = Ln–1(x) + Ln+1(x) (n ≥ 1);
в) F2n(x) = Ln(x)Fn(x) (n ≥ 0);
г) (Ln(x))² + (Ln+1(x))² = (x² + 4)F2n+1(x) (n ≥ 0);
д) Fn+2(x) + Fn–2(x) = (x² + 2)Fn(x).
Подсказка
Многочлены, стоящие в левых и правых частях равенств а), б) и д) удовлетворяют одному рекуррентному соотношению. Поэтому достаточно проверить лишь выполнение начальных условий.
Решение
в) Докажем сначала равенство Fm+n(x) = Fm–1(x)Fn(x) + Fm(x)Fn+1(x). Считая m фиксированным, заметим, что обе части равенства удовлетворяют одному рекуррентному соотношению – тому же, что и многочлены Фибоначчи. Начальные условия также совпадают:
Fm(x) = Fm–1(x)·0 + Fm(x)·1 = Fm–1(x)F0(x) + Fm(x)F1(x), Fm+1(x) = Fm–1(x)·1 + Fm(x)x = Fm–1(x)F1(x) + Fm(x)F2(x).
Отсюда и из п.а), следует, что F2n(x) = Fn–1(x)Fn(x) + Fn(x)Fn+1(x) = (Fn–1(x) + Fn+1(x))Fn(x) = Ln(x)Fn(x).
г) Первый способ. Индукция по n. База: (L0(x))² + (L1(x))² = 4 + x² = (x² + 4)F1(x).
Шаг индукции. (Ln+1(x))² + (Ln+2(x))² = (Ln+2(x))² – (Ln(x))² + (Ln(x))² + (Ln+1(x))² = (Ln+2(x) – Ln(x))(Ln+2(x) + Ln(x)) + (x² + 4)F2n+1(x) =
= xLn+1(x)(x² + 4)Fn+1(x) + (x² + 4)F2n+1(x) = x(x² + 4)F2n+2(x) + (x² + 4)F2n+1(x) = (x² + 4)F2n+3(x).
(Кроме предположения индукции мы воспользовались пп. а, б и в).
Второй способ. Докажем более общую формулу: Lm(x)Ln(x) + Lm+1(x)Ln+1(x) = (x² + 4)Fm+n+1(x). Считая m фиксированным, заметим, что обе части равенства удовлетворяют тому же рекуррентному соотношению. Начальные условия также совпадают:
Lm(x)L0(x) + Lm+1(x)L1(x) = 2Lm(x) + xLm+1(x) = Lm(x) + Lm+2(x) = (x² + 4)Fm+1(x), Lm(x)L1(x) + Lm+1(x)L2(x) = xLm(x) + (x² + 2)Lm+1(x) =
= xLm+2(x) + 2Lm+1(x) = xLm+2(x) + Lm+1(x) + Lm+1(x) = Lm+3(x) + Lm+1(x) = (x² + 4)Fm+2(x).
д) Fn+2(x) + Fn–2(x) = xFn+1(x) + Fn(x) + Fn(x) – xFn–1(x) = x(Fn+1(x) – Fn–1(x)) + 2Fn(x) = x²Fn(x) + 2Fn(x).
Ответ
F2(x) = x, F3(x) = x² + 1, F4(x) = x³ + 2x, F5(x) = x4 + 3x² + 1;
L2(x) = x² + 2, L3(x) = x³ + 3x, L4(x) = x4 + 4x² + 2, L5(x) = x5 + 5x³ + 5x;
Fn(1) = Fn (числа Фибоначчи), Ln(1) = Ln (числа Люка).
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Алфутова Н.Б., Устинов А.В. |
| Год издания | 2002 |
| Название | Алгебра и теория чисел |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 1 |
| глава | |
| Номер | 11 |
| Название | Последовательности и ряды |
| Тема | Последовательности |
| параграф | |
| Номер | 2 |
| Название | Рекуррентные последовательности |
| Тема | Рекуррентные соотношения |
| задача | |
| Номер | 11.041 |
