Задача 61452

Темы:    [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Условие

  а) Пусть q – натуральное число и функция   f(x) = cq^x + a_nxⁿ + ... + a₁x + a₀  принимает целые значения при  x = 0, 1, 2, ..., n + 1.
Докажите, что при любом натуральном x число  f(x) также будет целым.
  б) Пусть выполняются условия пункта а) и  f(x) делится на некоторое целое  m ≥ 1  при  x = 0, 1, 2, ..., n + 1.  Докажите, что  f(x) делится на m при всех натуральных x.

Решение

  а) Рассмотрим многочлены  P(x) = f(x) – cq^x  и     Заметим, что
  при  k = 0, 1, ..., m.  В частности,  f(x) совпадает с  P(x) + сQ_n(x)  в точках
0, 1, 2, ..., n.  Согласно задаче 61451 многочлен n-й степени  R_n(x) = P(x) + сQ_n(x)  принимает целые значения во всех целых точках. Но по тем же соображениям это верно и для многочлена  R_n+1(x) = P(x) + сQ_n+1(x).  Значит, и разность     будет целой при всех целых x. В частности, число     – целое. Тем более целыми будут числа  c(q – 1)^n+m  и     при натуральных k,  m ≤ k.  Таким образом,     – целое число.
  б) Достаточно заметить, что функция  ¹/_m f(x) удовлетворяет условиям пункта а).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	11
Название	Последовательности и ряды
Тема	Последовательности
параграф
Номер	1
Название	Конечные разности
Тема	Последовательности (прочее)
задача
Номер	11.025