Задача 61098

Темы:    [ Теорема Безу. Разложение на множители ] [ Комплексные числа помогают решить задачу ] [ Тригонометрическая форма. Формула Муавра ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Докажите тождества

а)  

б)  

в)  

г)  

Решение

  а) Корнями многочлена  x²ⁿ – 1  являются корни степени 2n из 1, то есть числа     Поэтому  x²ⁿ – 1 = (x – z₀)...(x – z_2n–1).  Из чисел z_k два –  z₀ = 1  и  z_n = – 1  – вещественны, а остальные разбиваются на пары сопряженных: z_k и z_2n–k. Произведения  (x – 1)(x + 1) = x² – 1  и

 

и дают множители из условия.

  б) – г) Тождества проверяются аналогично.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	7
Название	Комплексные числа
Тема	Неизвестная тема
параграф
Номер	1
Название	Комплексная плоскость
Тема	Неизвестная тема
задача
Номер	07.034