ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 61084
Тема:    [ Тригонометрическая форма. Формула Муавра ]
Сложность: 3
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если  |z| = 1  (z ≠ –1),  то для некоторого действительного t справедливо равенство  z = (1 + it)(1 – it)–1.


Решение

  Выразим t через z:  t = i(1 – z)(1 + z)–1.
  Сначала найдём значения t, которые соответствуют точкам z, лежащим на единичной окружности. Пусть  z = cos φ + isin φ.  Представим числа  1 – z  и  1 + z  в тригонометрической форме:  1 – z = 2 cos φ+π/2 (cos φ+π/2 + isin φ+π/2),   1 + z = 2 cos φ/2 (cos φ/2 + isin φ/2).
  Подставляя эти представления в формулу для t, находим, что  t = tg φ/2.  Обратные вычисления показывают, что выбирая t именно таким образом, мы получим все точки единичной окружности кроме точки  z = –1.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 7
Название Комплексные числа
Тема Неизвестная тема
параграф
Номер 1
Название Комплексная плоскость
Тема Неизвестная тема
задача
Номер 07.020

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .