ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 60863
Темы:    [ Рациональные и иррациональные числа ]
[ Квадратные корни (прочее) ]
Сложность: 7
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что число $ \sqrt{2}$ + $ \sqrt{3}$ + $ \sqrt{5}$ + $ \sqrt{7}$ + $ \sqrt{11}$ + $ \sqrt{13}$ + $ \sqrt{17}$ иррационально.


Подсказка

Для решения этой задачи удобнее доказать более общее утверждение: если b1, ..., bn — ненулевые целые числа, a1, ..., an — натуральные числа, свободные от квадратов, то

b1$\displaystyle \sqrt{a_1}$ +...+ bn$\displaystyle \sqrt{a_n}$$\displaystyle \ne$0. (13.5)

Выбирая здесь a1 = 1, получаем иррациональность суммы радикалов $ \sqrt{a_2}$ +...+ $ \sqrt{a_n}$. Для доказательства соотношения 13.5 проведите индукцию по числу простых p1, ..., pm, входящих в разложения чисел a1, ..., an на множители.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 5
Название Числа, дроби, системы счисления
Тема Системы счисления
параграф
Номер 1
Название Рациональные и иррациональные числа
Тема Дроби
задача
Номер 05.025

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .