ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 60670
Темы:    [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
[ Простые числа и их свойства ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

а) Докажите, что если p — простое число и  2 ≤ k ≤ p – 2,  то    делится на p.

б) Верно ли обратное утверждение?


Решение

  а) При  k > p – k + 1  (2k > p + 1)  оба биномиальных коэффициента равны нулю, а при  2k = p + 1  – единице. Поэтому далее считаем, что  2k ≤ p.



Числитель кратен p, а ни один из множителей знаменателя не делится на p.

  б) Пусть p – составное число и q – один из его простых делителей. Тогда

В числителе нет множителей, кратных q, а в знаменателе – есть. Следовательно, это число – не целое, то есть    не делится на p.


Ответ

б) Верно.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 4
Название Арифметика остатков
Тема Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер 2
Название Делимость
Тема Теория чисел. Делимость (прочее)
задача
Номер 04.044

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .