Задача 60659

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Решите в целых числах уравнения:
  а)  3x² + 5y² = 345;
  б)  1 + x + x² + x³ = 2^y.

Решение

  а) Ясно, что x² делится на 5 и меньше 115. Поэтому достаточно разобрать варианты  x² = 0, 25, 100.
  б) Разложим левую часть на множители:  (1 + x)(1 + x²) = 2^y.  Ясно, что оба множителя в левой части должны быть степенями двойки.
  Если x чётно, то левая часть нечётна, откуда  y = 0.
  Если x нечётно, то число  1 + x²  при делении на 4 дает остаток 2, то есть  1 + x² = 2.  Значит,  x = 1.

Ответ

а)  ± (10, ±3);   б)  (0, 0),  (1, 2).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	4
Название	Арифметика остатков
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер	2
Название	Делимость
Тема	Теория чисел. Делимость (прочее)
задача
Номер	04.033