Задача 60558

Темы:    [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Произведения и факториалы ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ] [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Условие

Докажите, что число    (m, n ≥ 0)  целое.

Решение

  Лемма.  [a] + [b] + [a + b] ≤ [2a] + [2b].
  Доказательство. Рассмотрим два случая.
  1)  {a} + {b} < 1.  Тогда  [a + b] = [a] + [b]  и  [a] + [b] + [a + b] = 2[a] + 2[b] ≤ [2a] + [2b].
  2)  {a} + {b} ≥ 1.  Тогда хотя бы одно из чисел {a}, {b} (например, {b}) не меньше ½. Поэтому  [2b] = 2[b] + 1  и
[a] + [b] + [a + b] = [a] + [b] + [a] + [b] + 1 = 2[a] + 2[b] + 1 = [2a] + [2b].