Задача 60556

Темы:    [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Произведения и факториалы ] [ Системы счисления (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Условие

Пусть p – простое число и представление числа n в p-ичной системе имеет вид:   n = a_kp^k + a_k–1p^k–1 + ... + a₁p¹ + a₀.
Найдите формулу, выражающую показатель α_p, с которым это число p входит в каноническое разложение n!, через n, p, и коэффициенты a_k.

Решение

По формуле Лежандра (см. задачу 60553)
  α_p = (a_kp^k–1 + ... + a₁) + (a_kp^k–2 + ... + a₂) + ... + a_k = a_k(p^k–1 + ... + p + 1) + ... + a₁ =  

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	3
Название	Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики
Тема	Алгебра и арифметика
параграф
Номер	3
Название	Мультипликативные функции
Тема	Неопределено
задача
Номер	03.104