Задача 60539

Темы:    [ Количество и сумма делителей числа ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Условие

Некоторое натуральное число n имеет два простых делителя. Его квадрат имеет  а) 15;  б) 81 делителей. Сколько делителей имеет куб этого числа?

Решение

б) Пусть  n = p^αq^β,  где p и q – простые числа. Тогда  n² = p^2αq^2β,  81 = τ(n²) = (2α + 1)(2β + 1)  (см. задачу 60537), откуда  α = β = 4  или  {α, β} = {2, 13}.  Значит,  τ(n³) = (3α + 1)(3β + 1) = 13²  или 5·40.

Ответ

а) 28;  б) 160 или 169.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	3
Название	Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики
Тема	Алгебра и арифметика
параграф
Номер	3
Название	Мультипликативные функции
Тема	Неопределено
задача
Номер	03.087