Задача 60481

Темы:    [ Простые числа и их свойства ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9 Название задачи: Числа Мерсенна.

Условие

Пусть a и n – натуральные числа, большие 1. Докажите, что если число aⁿ – 1 простое, то  a = 2  и n – простое.
(Числа вида  q = 2ⁿ – 1  называются числами Мерсенна.)

Решение

Если  a > 2,  то  aⁿ – 1  делится на  a – 1 > 1.  Если  a = 2,  а  n = km  – составное, то  aⁿ – 1  делится на  2^m – 1.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	3
Название	Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики
Тема	Алгебра и арифметика
параграф
Номер	1
Название	Простые числа
Тема	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители
задача
Номер	03.029