Задача 60474

Тема:    [ Простые числа и их свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Пусть  {p_n} – последовательность простых чисел  (p₁ = 2,  p₂ = 3,  p₃ = 5, ...).
  а) Докажите, что  p_n > 2n  при  n ≥ 5.
  б) При каких n будет выполняться неравенство  p_n > 3n?

Решение

  а) Поскольку все простые числа, кроме 2, нечётны, то  p_n ≥ p₅ + 2(n – 5) = 2n + 1  при  n ≥ 5.

  б) Все простые числа, начиная с 7, имеют вид  6n + 1  или  6n + 5.  Поскольку  p₁₂ = 37 = 6·6 + 1,  то  p_12+2n ≥ 6(6 + n) + 1 > 3(12 + 2n),  а
p_12+2n+1 ≥ 6(6 + n) + 5 > 3(12 + 2n + 1).
  При  n < 12,  как легко проверить, неравенство не выполнено.

Ответ

б) При  n ≥ 12.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	3
Название	Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики
Тема	Алгебра и арифметика
параграф
Номер	1
Название	Простые числа
Тема	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители
задача
Номер	03.022