ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 60438
Темы:    [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ Классическая комбинаторика (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Сколько существует целых чисел от 1 до 16500, которые
  а) не делятся на 5;
  б) не делятся ни на 5, ни на 3;
  в) не делятся ни на 5, ни на 3, ни на 11?


Решение

  а) Разобьём все числа на  16500 : 5 = 3300  пятерок последовательно идущих чисел. В каждой пятерке одно число делится на 5, а 4 – не делятся. Поэтому всего  4·3300 = 13200 чисел не делятся на 5.

  б) 3300 чисел делятся на 5. Аналогично  16500 : 3 = 5500  чисел делятся на 3. Из них  16500 : 15 = 1100  делятся на 15, то есть и на 5, и на 3. Они были сосчитаны дважды. Всего на 5 или на 3 делятся  3300 + 5500 – 1100 = 7700,  а не делятся  16500 – 7700 = 8800  чисел.

  в) На 11 делятся  16500 : 11 = 1500 чисел,  на 5 и на  11 – 16500 : 55 = 300  чисел, на 3 и на  11 –  16500 : 33 = 500  чисел, на 3, на 5 и на
11 –  300 : 3 = 100  чисел.
  По формуле включения-исключения всего на 3, на 5 или на 11 делятся  5500 + 3300 + 1500 – 1100 – 500 – 300 + 100 = 8500  чисел, а не делятся ни на одно из этих чисел  16500 – 8500 = 8000  чисел.


Ответ

а) 13200;   б) 8800;   в) 8000 чисел.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 2
Название Комбинаторика
Тема Комбинаторика
параграф
Номер 4
Название Формула включений и исключений
Тема Формула включения-исключения
задача
Номер 02.104

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .