ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 60433
Темы:    [ Подсчет двумя способами ]
[ Комбинаторика (прочее) ]
[ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
Название задачи: Двоечники.
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В классе имеется a1 учеников, получивших в течение года хотя бы одну двойку, a2 учеников, получивших не менее двух двоек, ..., ak учеников, получивших не менее k двоек. Сколько всего двоек в этом классе? (Предполагается, что ни у кого нет более k двоек.)


Решение 1

Количество учеников, получивших ровно одну двойку, равно  a1a2,  ровно две двойки –  a2a3,  и т. д. Поэтому общее количество двоек равно
(a1a2) + 2(a2a3) + 3(a3a4 ) + ... + (k – 1)(ak–1ak) + kak = a1 + (2a2a2) + (3a3 – 2a3) + (kak – (k–1)ak) = a1 + a2 + ... + ak.


Решение 2

Занумеруем двойки каждого ученика в порядке их получения. Тогда a1 – количество первых двоек, a2 – количество вторых двоек, и т. д. Значит, количество всех двоек равно  a1 + a2 + ... + ak.

  Замечание. Искушённый читатель сразу заметит здесь переход от диаграммы Юнга к симметричной.


Ответ

a1 + a2 + ... + ak.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 2
Название Комбинаторика
Тема Комбинаторика
параграф
Номер 4
Название Формула включений и исключений
Тема Формула включения-исключения
задача
Номер 02.099

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .