ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 60334
Темы:    [ Уравнения в целых числах ]
[ Алгебраические задачи на неравенство треугольника ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Сколько существует (невырожденных) треугольников периметра 100 с целыми длинами сторон?


Решение

  Нам нужно найти число троек  (a, b, c)  натуральных чисел, где  a ≤ b ≤ c,  a + b + c = 100,  a + b > c.
  Ясно, что c может принимать значения от 34 до 49. При каждом из этих значений  a + b = 100 – c,  значит, b может принимать значения от
½ (100 – c)  до c, точнее, от  50 – c/2  до c при чётном c (всего  3c/2 – 49  вариантов) и от  50 – c–1/2  до c – при нечётном  (3c–1/2 – 49  вариантов).
  Итак, при  с = 34, 36, ..., 48  получаем 2, 5, ..., 23 треугольника, а при  с = 35, 37, ..., 49  – 3, 6, ..., 24 треугольника. Всего  8·26 = 208  треугольников.

Замечания

Пусть Tn – число треугольников периметра n с целыми длинами сторон. Нетрудно доказать, что
Tn = Tn–3  при чётном n,  Tn = Tn–3 + [n+1/4] = Tn–6 + [n+1/4]  при нечётном n. В частности,
T100 = T97 = T91 + 24 = T85 + 23 + 24 = ... = 2 + 3 + 5 + 6 + 8 + 9 + 11 + 12 + 14 + 15 + 18 + 19 + 21 + 22 + 23 + 24 = 208.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 1
Название Метод математической индукции
Тема Индукция
параграф
Номер 3
Название Индукция в геометрии и комбинаторике
Тема Индукция (прочее)
задача
Номер 01.061

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .