Задача 60276

Темы:    [ Периодичность и непериодичность ] [ Деление с остатком ]

Сложность: 3 Классы: 9,10

Условие

Пусть  a₀, a₁, ..., a_n, ... – периодическая последовательность, то есть для некоторого натурального T   a_n+T = a_n  (n ≥ 0).  Докажите, что
  а) среди всех периодов этой последовательности существует период наименьшей длины t;
  б) T делится на t.

Решение

а) В любом множестве натуральных чисел есть наименьший элемент.

б) Пусть t – наименьший период и  T = tq + r,  где  0 < r < t.  Тогда  a_n+r = a_n+T–tq = a_n+T = a_n  для любого n, то есть r – тоже период. Противоречие.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	1
Название	Метод математической индукции
Тема	Индукция
параграф
Номер	1
Название	Аксиома индукции
Тема	Индукция (прочее)
задача
Номер	01.003