Информация о задаче

Задача 58537

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что центры всех правильных треугольников, вписанных в данную конику, лежат на некоторой конике.

Решение

Можно считать, что уравнение коники имеет вид

A(z² + $\displaystyle \bar{z}^{2}_{}$ ) + Bz $\displaystyle \bar{z}$ + Cz + $\displaystyle \bar{C}$ $\displaystyle \bar{z}$ + D = 0.

(*)

В самом деле, эллипс и гиперболу можно задать уравнением A(z² + $\bar{z}^{2}_{}$ ) + Bz $\bar{z}$ = 1 (при B < 2A получаем эллипс, а при B > 2A получаем гиперболу); параболу можно задать уравнением

z² + $\displaystyle \bar{z}^{2}_{}$ + 2z $\displaystyle \bar{z}$ + 2iz - 2i $\displaystyle \bar{z}$ = 0.

Пусть u — центр правильного треугольника с вершинами u + v $\varepsilon^{k}_{}$ , где k = 1, 2, 3 и $\varepsilon$ = exp(2 $\pi$ i/3). Если этот треугольник вписан в конику (*), то числа z_k = u + v $\varepsilon^{k}_{}$ , k = 1, 2, 3, удовлетворяют соотношению (*). Сложив три таких равенства, получим

A(u² + $\displaystyle \bar{u}^{2}_{}$ ) + B(u $\displaystyle \bar{u}$ + v $\displaystyle \bar{v}$ ) + Cu + $\displaystyle \bar{C}$ $\displaystyle \bar{u}$ + D = 0

(**)

(мы воспользовались тем, что $\varepsilon^{1}_{}$ + $\varepsilon^{2}_{}$ + $\varepsilon^{3}_{}$ = 0). Подставим в (*) значение z = z₃ = u + v и вычтем из (**) полученное соотношение. В результате получим $\Re$ (Fv + A $\bar{v}^{2}_{}$ ) = 0, где F = 2Au + B $\bar{u}$ + C. Проделав аналогичные вычисления для z = z₁ = u + v $\varepsilon$ , получим Fv + A $\bar{v}^{2}_{}$ = 0. Так как v $\not=$ 0, то при A $\not=$ 0

| v|² = | 2Au + B $\displaystyle \bar{u}$ + C|²A^-2;

(***)

случай A = 0 соответствует окружности. Подставив (***) в (**), получим уравнение требуемой коники.
Отметим, что вторая коника совпадает с исходной тогда и только тогда, когда B = 0, т. е. в случае равнобочной гиперболы.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	31
Название	Эллипс, парабола, гипербола
Тема	Неопределено
параграф
Номер	6
Название	Коники как геометрические места точек
Тема	Кривые второго порядка
задача
Номер	31.070