Задача 58485

Тема:    [ Кривые второго порядка ]

Сложность: 3 Классы: 10

Условие

Вокруг эллипса описан прямоугольник. Докажите, что длина его диагонали не зависит от положения прямоугольника.

Решение

Пусть O — вершина данного прямоугольника, OA и OB — касательные к эллипсу. Рассматриваемый в решении задачи 31.013 треугольник F₁OG₂ в данном случае прямоугольный. Следовательно, F₁O² + F₂O² = F₁G₂² — постоянная величина. Если M — центр эллипса, то величина

OM² = (2F₁O² + 2F₂O² - F₁F₂²)

постоянна.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	31
Название	Эллипс, парабола, гипербола
Тема	Неопределено
параграф
Номер	2
Название	Эллипс
Тема	Кривые второго порядка
задача
Номер	31.018