ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58476
Тема:    [ Кривые второго порядка ]
Сложность: 3
Классы: 10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что эллиптическое зеркало обладает тем свойством, что пучок лучей света, исходящий из одного фокуса, сходится в другом.

Решение

Проведем касательную в точке X, лежащей на эллипсе, и биссектрису ко внешнему углу при вершине X треугольника F1XF2. Если бы биссектриса не совпала с касательной, она пересекла бы эллипс в другой точке M $ \neq$ X. Отразим F2 относительно биссектрисы. Получим точку F2'. Имеем

F1M + F2M = F1M + F2'M > F1F2' = F1X + F2X,

т. е. M лежит вне эллипса — противоречие. Значит, биссектриса совпадает с касательной, и следовательно, угол падения (т. е. угол прямой F1X c касательной) равен углу отражения (т. е. углу прямой F2X с касательной). Таким образом, доказано, что лучи, исходящие из F1, соберутся в F2.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 31
Название Эллипс, парабола, гипербола
Тема Неопределено
параграф
Номер 2
Название Эллипс
Тема Кривые второго порядка
задача
Номер 31.009

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .