Информация о задаче

Задача 58408

Тема:

[

Эллипсы Штейнера

]

Сложность: 7
Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Найдите барицентрические координаты точки Штейнера.

Решение

Описанный эллипс Штейнера задается уравнением $\beta$ $\gamma$ + $\alpha$ $\gamma$ + $\alpha$ $\beta$ = 0 (задача EllSteUr), а описанная окружность -- уравнением a² $\beta$ $\gamma$ + b² $\alpha$ $\gamma$ + c² $\alpha$ $\beta$ = 0, где a, b, c — длины сторон (задача 14.37). Из первого уравнения получаем $\gamma$ = - $\alpha$ $\beta$ /( $\alpha$ + $\beta$ ). Подставив это выражение во второе уравнение, получим $\alpha$ : $\beta$ = (c² - a²) : (b² - c²). Таким образом, точка Штейнера имеет барицентрические координаты

$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{1}{b^2-c^2}:\frac{1}{c^2-a^2}:\frac{1}{a^2-b^2}}\right.$ $\displaystyle {\frac{1}{b^2-c^2}}$ : $\displaystyle {\frac{1}{c^2-a^2}}$ : $\displaystyle {\frac{1}{a^2-b^2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{1}{b^2-c^2}:\frac{1}{c^2-a^2}:\frac{1}{a^2-b^2}}\right)$ .

Замечание. На с. ______________-1 дано другое определение точки Штейнера. Задача 14.47 показывает, что эти определения эквивалентны.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	29
Название	Аффинные преобразования
Тема	Аффинная геометрия
параграф
Номер	4
Название	Эллипсы Штейнера
Тема	Эллипсы Штейнера
задача
Номер	29.036