Информация о задаче

Задача 58310

Темы:	[	Индукция в геометрии	]
Темы:	[	Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

На прямой даны точки A₁,..., A_n и B₁,..., B_{n - 1}. Докажите, что

$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n}$ $\displaystyle {\frac{\prod\limits_{k=1}^{n-1} \overline{A_iB_k}}{\prod\limits_{j\ne 1} \overline{A_iA_j}}}$ = 1.

Решение

Докажем сначала требуемое утверждение при n = 2. Так как $\overrightarrow{A_1B_1}$ + $\overrightarrow{B_1A_2}$ + $\overrightarrow{A_2A_1}$ = $\overrightarrow{0}$ , то ( $\overline{A_1B_1}$ / $\overline{A_1A_2}$ ) + ( $\overline{A_2B_1}$ / $\overline{A_2A_1}$ ) = 1. Для доказательства шага индукции поступим следующим образом. Фиксируем точки A₁,..., A_n и B₁,..., B_{n - 2}, а точку B_{n - 1} будем считать переменной. Рассмотрим функцию

f (B_{n - 1}) = $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n}$ $\displaystyle {\frac{\prod\limits_{k=1}^{n-1}\overline{A_iB_k}}{\prod\limits_{j\ne i}\overline{A_iA_j}}}$ .

Эта функция линейная, причем по предположению индукции f (B_{n - 1}) = 1, если B_{n - 1} совпадает с одной из точек A₁,..., A_n. Следовательно, эта функция тождественно равна 1.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	27
Название	Индукция и комбинаторика
Тема	Неопределено
параграф
Номер	1
Название	Индукция
Тема	Индукция в геометрии
задача
Номер	27.004