Задача 58309

Темы:    [ Индукция в геометрии ] [ Трапеции (прочее) ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Пусть E – точка пересечения боковых сторон AD и BC трапеции ABCD, B_n+1 – точка пересечения прямых A_nC и BD  (A₀ = A),  A_n+1 – точка пересечения прямых EB_n+1 и  AB. Докажите, что  A_nB = ^AB/_n+1.

Решение

  Индукция по n. База:  A₀B = AB.
  Шаг индукции. Пусть C_n – точка пересечения прямых EA_n и DC,  ^DC/_AB = k,  AB = a,  A_nB = ^a_n/_n+1  и  A_n+1B = x.  Так как
CC_n+1 : A_nA_n+1 = DC_n+1 : BA_n+1,  то  kx : (a_n – x) = (ka – kx) : x,  то есть  x = ^aa_n/_a+an = ^a/_n+2.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	27
Название	Индукция и комбинаторика
Тема	Неопределено
параграф
Номер	1
Название	Индукция
Тема	Индукция в геометрии
задача
Номер	27.003