Задача 58308

Темы:    [ Индукция в геометрии ] [ Выпуклые многоугольники ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Условие

Докажите, что в выпуклом n-угольнике нельзя выбрать больше n диагоналей так, чтобы любые две из них имели общую точку.

Решение

Докажем индукцией по n, что в выпуклом n-угольнике нельзя выбрать более n сторон или диагоналей так, чтобы любые две из них имели общую точку. При n = 3 это очевидно. Предположим, что утверждение верно для любого выпуклого n-угольника, и докажем его для (n + 1)-угольника. Если из каждой вершины (n + 1)-угольника выходит не более двух выбранных сторон или диагоналей, то их всего выбрано не более n + 1. Поэтому будем считать, что из некоторой вершины A выходят три выбранные стороны или диагонали AB₁, AB₂ и AB₃, причем AB₂ лежит между AB₁ и AB₃. Так как диагональ или сторона, выходящая из точки B₂ и отличная от AB₂ не может одновременно пересекать AB₁ и AB₃, то из B₂ выходит только одна выбранная диагональ. Поэтому можно выбросить точку B₂ вместе с диагональю AB₂ и применить предположение индукции.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	27
Название	Индукция и комбинаторика
Тема	Неопределено
параграф
Номер	1
Название	Индукция
Тема	Индукция в геометрии
задача
Номер	27.002