ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58294
Тема:    [ Системы отрезков, прямых и окружностей ]
Сложность: 5+
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На окружности отметили 4n точек и окрасили их через одну в красный и синий цвета. Точки каждого цвета разбили на пары, а точки каждой пары соединили отрезками того же цвета. Докажите, что если никакие три отрезка не пересекаются в одной точке, то найдется по крайней мере n точек пересечения красных отрезков с синими.

Решение

Если AC и BD — пересекающиеся красные отрезки, то число точек пересечения любой прямой с отрезками AB и CD не превосходит числа точек пересечения этой прямой с отрезками AC и BD. Поэтому, заменив красные отрезки AC и BD на отрезки AB и CD, мы не увеличим число точек пересечения красных отрезков с синими, а число точек пересечения красных отрезков с красными уменьшим, так как исчезнет точка пересечения AC и BD. После нескольких таких операций все красные отрезки станут непересекающимися, и нам остается доказать, что в этом случае число точек пересечения красных отрезков с синими не меньше n. Рассмотрим произвольный красный отрезок. Так как другие красные отрезки его не пересекают, то по обе стороны от него лежит четное число красных точек, т. е. нечетное число синих точек. Следовательно, найдется синий отрезок, пересекающий данный красный отрезок. Поэтому числе точек пересечения красных отрезков с синими не меньше числа красных отрезков, т. е. не меньше n.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 26
Название Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры
Тема Системы точек и отрезков
параграф
Номер 2
Название Системы отрезков, прямых и окружностей
Тема Системы отрезков, прямых и окружностей
задача
Номер 26.011

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .