ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58290
Тема:    [ Системы точек ]
Сложность: 6+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что для любого натурального N существует N точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой и все попарные расстояния между которыми являются целыми числами.

Решение

Так как $ \left(\vphantom{\frac{2n}{n^2+1}}\right.$$ {\frac{2n}{n^2+1}}$$ \left.\vphantom{\frac{2n}{n^2+1}}\right)^{2}_{}$ + $ \left(\vphantom{\frac{n^2-1}{n^2+1}
}\right.$$ {\frac{n^2-1}{n^2+1}}$$ \left.\vphantom{\frac{n^2-1}{n^2+1}
}\right)^{2}_{}$ = 1, то существует угол $ \varphi$, обладающий тем свойством, что sin$ \varphi$ = 2n/(n2 + 1) и  cos$ \varphi$ = (n2 - 1)/(n2 + 1), причем 0 < 2N$ \varphi$ < $ \pi$/2 при достаточно большом n. Рассмотрим окружность радиуса R с центром O и возьмем на ней точки A0, A1,..., AN - 1 так, что $ \angle$A0OAk = 2k$ \varphi$. Тогда AiAj = 2Rsin(| i-j|$ \varphi$). Воспользовавшись формулами sin(m+1)$ \varphi$ = sin m$ \varphi$cos$ \varphi$ + sin$ \varphi$cos m$ \varphi$ и cos(m+1)$ \varphi$ = cos m$ \varphi$cos$ \varphi$ - sin m$ \varphi$sin$ \varphi$, легко доказать, что числа sin m$ \varphi$ и  cos m$ \varphi$ рациональны для всех натуральных m. Возьмем в качестве R наибольший общий делитель всех знаменателей рациональных чисел sin$ \varphi$,..., sin(N-1)$ \varphi$. Тогда A0,..., AN - 1 — требуемая система точек.


Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 26
Название Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры
Тема Системы точек и отрезков
параграф
Номер 1
Название Системы точек
Тема Системы точек
задача
Номер 26.007

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .