Задача 58248

Тема:    [ Плоскость, разрезанная прямыми ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

а) Докажите, что при n = 2k среди полученных фигур не более 2k - 1 углов.
б) Может ли при n = 100 среди полученных фигур быть только три угла?

Решение

а) Все точки пересечения данных прямых можно заключить в некоторую окружность. Прямые разбивают эту окружность на 4k дуг. Ясно. что две соседние дуги не могут одновременно принадлежать углам, поэтому число углов не превосходит 2k, причем равенство может достигаться, только если дуги. принадлежащие углам, чередуются. Остается доказать, что равенство не может достигаться. Предположим, что дуги, принадлежащие углам, чередуются. Так как по обе стороны от любой из данных прямых лежит по 2k дуг, то противоположные дуги (т. е. дуги, заданные двумя прямыми) должны принадлежать углам (рис.), чего не может быть.

б) Для любого n среди полученных фигур может быть три угла. На рис. показано, как построить соответствующее разбиение плоскости.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	25
Название	Разрезания, разбиения, покрытия
Тема	Разрезания, разбиения, покрытия и замощения
параграф
Номер	5
Название	Плоскость, разрезанная прямыми
Тема	Плоскость, разрезанная прямыми
задача
Номер	25.007.1