Информация о задаче

Задача 58233

Тема:

[

Разрезания на части, обладающие специальными свойствами

]

Сложность: 6
Классы: 7,8

Прислать комментарий

Условие

Разрежьте произвольный тупоугольный треугольник на 7 остроугольных.

Решение

$\angle$ ACB > 90^o и O — центр вписанной окружности S треугольника ABC. Проведем к S касательные через точки пересечения S с отрезками OA и OB и обозначим получившиеся углы, как показано на рис. Последовательно вычисляя углы, получаем, что $\phi_{1}^{}$ = ( $\pi$ - $\alpha$ )/2 < $\pi$ /2, $\phi_{2}^{}$ = ( $\pi$ - $\phi_{1}^{}$ )/2 = ( $\pi$ + $\alpha$ )/4 < $\pi$ /2 (аналогично $\phi_{2}^{'}$ = ( $\pi$ + $\beta$ )/4), $\phi_{3}^{}$ = $\pi$ - $\phi_{2}^{}$ - $\gamma$ /2 = 3 $\pi$ /4 - $\alpha$ /4 - $\gamma$ /2 < $\pi$ /2 + ( $\pi$ /4 - $\gamma$ /2) < $\pi$ /2, $\phi_{4}^{}$ = $\pi$ - 2 $\phi_{2}^{}$ = ( $\pi$ - $\alpha$ )/2 < $\pi$ /2 и $\phi_{5}^{}$ = $\pi$ - $\phi_{2}^{}$ - $\phi_{2}^{'}$ = $\pi$ /2 - $\alpha$ /4 - $\beta$ /4 < $\pi$ /2. Аналогично доказывается, что и все остальные углы семи треугольников, изображенных на рис., меньше 90^o.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	25
Название	Разрезания, разбиения, покрытия
Тема	Разрезания, разбиения, покрытия и замощения
параграф
Номер	2
Название	Разрезания на части, обладающие специальными свойствами
Тема	Разрезания на части, обладающие специальными свойствами
задача
Номер	25.014