Задача 58203

Тема:    [ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10

Условие

Докажите, что при n ≠ 4 правильный n-угольник нельзя расположить так, чтобы его вершины оказались в узлах целочисленной решетки.

Решение

Для n = 3 и n = 6 утверждение вытекает из предыдущей задачи, поэтому будем в дальнейшем считать, что n ≠ 3, 4, 6. Предположим, что существуют правильные n-угольники с вершинами в узлах целочисленной решетки (n ≠ 3, 4, 6). Среди всех таких n-угольников можно выбрать тот, у которого длина стороны наименьшая. (Для доказательства достаточно заметить, что если a — длина отрезка с концами в узлах решетки, то a = , где n и m — целые числа, поэтому длина отрезка с концами в узлах решетки может принимать лишь конечное число различных значений, меньших данного.) Пусть = . Тогда B₁...B_n — правильный n-угольник, вершины которого лежат в узлах целочисленной решетки, а его сторона меньше стороны n-угольника A₁...A_n. Для n = 5 и для n7 это видно из рисунков. Получено противоречие с выбором n-угольника

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	24
Название	Целочисленные решетки
Тема	Целочисленные решетки
параграф
Номер	1
Название	Многоугольники с вершинами в узлах решетки
Тема	Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки
задача
Номер	24.002