Задача 58167

Темы:    [ Четность и нечетность ] [ Правильные многоугольники ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4 Классы: 7,8

Условие

Вершины правильного 2n-угольника A₁...A_2n разбиты на n пар.
Докажите, что если  n = 4m + 2  или  n = 4m + 3,  то две пары вершин являются концами равных отрезков.

Решение

Предположим, что все пары вершин задают отрезки разной длины. Отрезку A_pA_q поставим в соответствие наименьшее из чисел  |p – q|  и  2n – |p – q|.  В результате для данных n пар вершин получим числа 1, 2, ..., n. Заметим, что среди этих чисел чётных ровно  k = 2m + 1 , а нечётных –  n – k.  Нечётным числам соответствуют отрезки A_pA_q, где числа p и q разной чётности. Поэтому среди вершин остальных отрезков будет  n – (n – k) = k  вершин с чётными номерами. Поскольку эти отрезки соединяют вершины с номерами одной чётности, то k чётно. Противоречие.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	23
Название	Делимость, инварианты, раскраски
Тема	Неопределено
параграф
Номер	1
Название	Чет и нечет
Тема	Четность и нечетность
задача
Номер	23.008