Задача 58165

Темы:    [ Четность и нечетность ] [ Ломаные ]

Сложность: 4- Классы: 7,8

Условие

На плоскости дана несамопересекающаяся замкнутая ломаная, никакие три вершины которой не лежат на одной прямой. Назовём пару несоседних звеньев ломаной особой, если продолжение одного из них пересекает другое. Докажите, что число особых пар чётно.

Решение

Возьмём соседние звенья AB и BC и назовём уголком угол, симметричный углу ABC относительно точки B (на рисунке уголок заштрихован). Такие же уголки можно рассмотреть для всех вершин ломаной. Ясно, что число особых пар равно числу точек пересечения звеньев с уголками. Остается заметить, что число звеньев ломаной, пересекающихся с одним уголком, чётно, так как по пути от A к C ломаная входит в уголок столько же раз, сколько выходит из него.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	23
Название	Делимость, инварианты, раскраски
Тема	Неопределено
параграф
Номер	1
Название	Чет и нечет
Тема	Четность и нечетность
задача
Номер	23.006