В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C=90^{\circ}$) вписанная окружность касается катета $BC$ в точке $K$. Докажите, что хорда вписанной окружности, высекаемая прямой $AK$ в два раза больше, чем расстояние от вершины $C$ до этой прямой.

   Решение

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C провели биссектрисы AK и BN, на которые опустили перпендикуляры CD и CE из вершины прямого угла. Докажите, что длина отрезка DE равна радиусу вписанной окружности.

   Решение

Темы:    [ Четность и нечетность ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 7,8

Прислать комментарий

Условие

Окружность разбита точками на 3k дуг: по k дуг длины 1, 2 и 3. Докажите, что найдутся две диаметрально противоположные точки деления.

Решение

Предположим, что окружность разбита на дуги указанным образом, причём диаметрально противоположных точек деления нет. Поскольку против концов дуги длины 1 не лежат точки разбиения, то против неё лежит дуга длины 3. Выбросим одну из дуг длины 1 и противолежащую ей дугу
длины 3. При этом окружность разбивается на две дуги. Если на одной из них лежит m дуг длины 1 и n дуг длины 3, то на другой лежит m дуг длины 3 и n дуг длины 1. Общее количество дуг длины 1 и 3, лежащих на этих двух больших дугах, равно  2(k – 1),  поэтому  n + m = k – 1.  Так как, кроме дуг длиной 1 и 3, есть дуги только чётной длины, то чётность длины каждой из двух рассматриваемых дуг совпадает с чётностью числа  k – 1.  С другой стороны, длина каждой из них равна  ½ (6k – 1 – 3) = 3k – 2.  Противоречие, так как числа  k – 1  и  3k – 2  имеют разную чётность.

Источники и прецеденты использования