Условие
На плоскости дана замкнутая ломаная с конечным числом звеньев. Прямая l пересекает её ровно в 1985 точках.
Докажите, что существует прямая, пересекающая эту ломаную более чем в 1985 точках.
Решение
Прямая l задаёт две полуплоскости; одну из них будем называть верхней, а другую нижней. Пусть n1 (соответственно n2) – число вершин ломаной, лежащих на прямой l, для которых оба выходящих из них звена лежат в верхней (соответственно в нижней) полуплоскости, а m – число всех остальных точек пересечения прямой l и ломаной. Совершим обход ломаной, выйдя из некоторой точки, не лежащей на прямой l, и вернувшись в ту же точку. При этом мы переходим из одной полуплоскости в другую, только проходя через любую из m точек пересечения. Так как мы вернёмся в ту же точку, из которой начали обход, то m чётно. По условию n1 + n2 + m = 1985, поэтому число n1 + n2 нечётно, то есть n1 ≠ n2. Пусть для определенности n1 > n2. Проведём тогда в верхней полуплоскости прямую l1, параллельную l и удалённую от неё на расстояние меньшее чем любое ненулевое расстояние от l до вершин ломаной (см. рис.). Число точек пересечения ломаной с прямой l1 равно 2n1 + m > n1 + n2 + m = 1985, то есть l1 – искомая прямая.
Источники и прецеденты использования
