ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58133
Темы:    [ Выпуклые многоугольники ]
[ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ]
[ Свойства симметрий и осей симметрии ]
[ Принцип Дирихле (углы и длины) ]
Сложность: 6
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что симметризация по Штейнеру выпуклого многоугольника является выпуклым многоугольником.

Решение

Пусть M' — симметризация по Штейнеру выпуклого многоугольника M относительно прямой l. Нужно доказать, что если A и B — точки M', то весь отрезок AB принадлежит M'. Рассмотрим два отрезка, по которым пересекают M' прямые, проходящие через точки A и B перпендикулярно l. Эти прямые пересекают M по двум отрезкам такой же длины. Выпуклая оболочка этих отрезков является трапецией, целиком лежащей в M. При симметризации этой трапеции получается трапеция, лежащая в M'. Отрезок AB принадлежит полученной трапеции, поэтому он принадлежит M'.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 22
Название Выпуклые и невыпуклые многоугольники
Тема Выпуклые и невыпуклые фигуры
параграф
Номер 3
Название Симметризация по Штейнеру
Тема Выпуклые и невыпуклые фигуры (прочее)
задача
Номер 22.012B

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .