Условие
На плоскости дано несколько правильных
n-угольников. Докажите,
что выпуклая оболочка их вершин имеет не менее
n углов.
Решение
Пусть выпуклая оболочка вершин данных
n-угольников
является
m-угольником и
,...,
— его углы.
Так как к каждому углу выпуклой оболочки прилегает угол правильного
n-угольника, то
(1 - (2/
n))
(справа стоит величина
угла правильного
n-угольника). Поэтому
+...+
m(1 - (2/
n))
= (
m - (2
m/
n))
. С другой стороны,
+...+
= (
m - 2)
. Следовательно,
(
m - 2)
(
m - (2
m/
n))
, т. е.
mn.
Источники и прецеденты использования