ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58112
Тема:    [ Выпуклые многоугольники ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Внутри квадрата A1A2A3A4 лежит выпуклый четырёхугольник A5A6A7A8. Внутри A5A6A7A8 выбрана точка A9. Никакие три из этих девяти точек не лежат на одной прямой. Докажите, что из этих девяти точек можно выбрать 5 точек, расположенных в вершинах выпуклого пятиугольника.

Решение

Предположим, что требуемого выпуклого пятиугольника нет. Проведём из точки A9 лучи через точки A5, A6, A7, A8. Эти лучи разбивают плоскость на 4 угла, каждый из которых меньше 180o. Если внутри одного из этих углов лежат две из точек A1, A2, A3, A4, то мы немедленно получаем требуемый пятиугольник. Поэтому внутри каждого из этих углов лежит ровно одна из указанных точек. Но тогда внутри каждого из двух углов, образованных лучами A9A5 и A9A7, лежат две из указанных точек. Рассмотрев тот из углов, который меньше 180o, снова получаем требуемый пятиугольник.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 22
Название Выпуклые и невыпуклые многоугольники
Тема Выпуклые и невыпуклые фигуры
параграф
Номер 1
Название Выпуклые многоугольники
Тема Выпуклые многоугольники
задача
Номер 22.002B

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .