Задача 58051

Тема:    [ Наименьший или наибольший угол ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Условие

Внутри остроугольного треугольника взята точка P. Докажите, что наибольшее из расстояний от точки P до вершин этого треугольника меньше удвоенного наименьшего из расстояний от P до его сторон.

Решение

Опустим из точки P перпендикуляры PA₁, PB₁ и PC₁ на стороны BC, CA и AB и выберем наибольший из углов, образованных этими перпендикулярами и лучами PA, PB и PC. Пусть для определенности это будет угол APC₁. Тогда APC₁60^o, поэтому PC₁ : AP = cos APC₁cos 60^o = 1/2, т. е. AP2PC₁. Ясно, что неравенство сохранится, если AP заменить на наибольшее из чисел AP, BP и CP, а PC₁ — на наименьшее из чисел PA₁, PB₁ и PC₁.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	20
Название	Принцип крайнего
Тема	Принцип крайнего
параграф
Номер	1
Название	Наименьший или наибольший угол
Тема	Наименьший или наибольший угол
задача
Номер	20.006