Задача 58050

Тема:    [ Наименьший или наибольший угол ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Шесть кругов расположены на плоскости так, что некоторая точка O лежит внутри каждого из них. Докажите, что один из этих кругов содержит центр некоторого другого.

Решение

Один из углов между шестью отрезками, соединяющими точку O с центрами кругов, не превосходит 360^o/6 = 60^o. Пусть O₁OO₂60^o, где O₁ и O₂ — центры кругов радиуса r₁ и r₂ соответственно. Так как O₁OO₂60^o, этот угол не является наибольшим углом треугольника O₁OO₂ поэтому либо O₁O₂O₁O, либо O₁O₂O₂O. Пусть для определенности O₁O₂O₁O. Так как точка O лежит внутри кругов, то O₁O < r₁. Поэтому O₁O₂O₁O < r₁, т. е. точка O₂ лежит внутри круга радиуса r₁ с центром O₁.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	20
Название	Принцип крайнего
Тема	Принцип крайнего
параграф
Номер	1
Название	Наименьший или наибольший угол
Тема	Наименьший или наибольший угол
задача
Номер	20.005