Условие
Окружности
S1,...,
Sn проходят через точку
O.
Кузнечик из точки
Xi окружности
Si прыгает в точку
Xi + 1
окружности
Si + 1 так, что прямая
XiXi + 1 проходит через
точку пересечения окружностей
Si и
Si + 1, отличную от точки
O.
Докажите, что после
n прыжков (с окружности
S1 на
S2,
с
S2 на
S3,..., с
Sn на
S1) кузнечик вернется
в исходную точку.
Решение
Пусть
Pi — поворотная гомотетия с центром
O, переводящая
окружность
Si в
Si + 1. Тогда
Xi + 1 =
Pi(
Xi) (см. задачу
19.27).
Остается отметить, что композиция
Pno...
oP2oP1
является поворотной гомотетией с центром
O, переводящей
S1
в
S1, т. е. она является тождественным преобразованием.
Источники и прецеденты использования
