Условие
В каждый угол треугольника
ABC вписана окружность, касающаяся
описанной окружности. Пусть
A1,
B1 и
C1 — точки
касания этих окружностей с описанной окружностью. Докажите, что
прямые
AA1,
BB1 и
CC1 пересекаются в одной точке.
Решение
Пусть
X — центр гомотетии (с положительным коэффициентом),
переводящей вписанную окружность треугольника
ABC в описанную
окружность. Прямая
AX пересекает вписанную окружность в точках
A' и
A'', одна из которых (для определенности
A'') при
указанной гомотетии переходит в точку
A, а другая — в
некоторую точку
A2, лежащую на описанной окружности.
Рассмотрим гомотетию с центром
A, переводящую
A' в
A2.
При этой гомотетии центр вписанной окружности переходит в точку,
лежащую на отрезке
OA2. Это означает, что вписанная
окружность переходит в окружность, касающуюся описанной
окружности в точке
A2. Следовательно,
A2 =
A1. Поэтому
прямые
AA1,
BB1 и
CC1 проходят через точку
X.
Источники и прецеденты использования
