Условие
Пусть
R и
r — радиусы описанной и вписанной
окружностей треугольника. Докажите, что
R
2
r, причем
равенство достигается лишь для равностороннего треугольника.
Решение
Пусть
A1,
B1 и
C1 — середины сторон
BC,
AC и
AB
соответственно. При гомотетии с центром в точке пересечения
медиан треугольника и коэффициентом гомотетии -1/2 описанная
окружность
S треугольника
ABC переходит в описанную окружность
S1
треугольника
A1B1C1. Так как окружность
S1 пересекает
все стороны треугольника
ABC, то можно построить треугольник
A'B'C' со сторонами, параллельными сторонам треугольника
ABC,
для которого
S1 будет вписанной окружностью (рис.). Пусть
r
и
r' — радиусы вписанных окружностей треугольников
ABC и
A'B'C';
R и
R1 — радиусы окружностей
S и
S1. Ясно, что
r
r' =
R1 =
R/2. Равенство достигается, если треугольники
A'B'C'
и
ABC совпадают, т. е.
S1 — вписанная окружность треугольника
ABC. В этом случае
AB1 =
AC1, поэтому
AB =
AC. Аналогично
AB =
BC.
Источники и прецеденты использования
