Информация о задаче

Задача 57963

Тема:

[

Композиции поворотов

]

Сложность: 5+
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Постройте n-угольник, если известны n точек, являющихся вершинами равнобедренных треугольников, построенных на сторонах этого n-угольника и имеющих при вершинах углы $\alpha_{1}^{}$ ,..., $\alpha_{n}^{}$ .

Решение

Обозначим данные точки через M₁,..., M_n. Предположим. что мы построили многоугольник A₁A₂...A_n так, что треугольники A₁M₁A₂, A₂M₂A₃,..., A_nM_nA₁ равнобедренные, причем $\angle$ A_iM_iA_{i + 1} = $\alpha_{i}^{}$ и стороны многоугольника являются основаниями этих равнобедренных треугольников. Ясно, что R_{M_n}o...oR_M₁(A₁) = A₁. Если $\alpha_{1}^{}$ +...+ $\alpha_{n}^{}$ $\ne$ k^.360^o, то точка A₁ является центром поворота R_{M_n}o...oR_M₁. Центр композиции поворотов мы можем построить. Построение остальных вершин многоугольника производится очевидным образом. Если $\alpha_{1}^{}$ +...+ $\alpha_{n}^{}$ = k^.360^o, то задача неопределенная: либо любая точка A₁ задает многоугольник, обладающий требуемым свойством, либо задача не имеет решений.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	18
Название	Поворот
Тема	Поворот
параграф
Номер	4
Название	Композиции поворотов
Тема	Композиции поворотов
задача
Номер	18.041