Условие
На сторонах треугольника
ABC внешним образом
построены квадраты с центрами
P,
Q и
R. На сторонах
треугольника
PQR внутренним образом построены квадраты.
Докажите, что их центры являются серединами сторон
треугольника
ABC.
Решение
Пусть
P,
Q и
R — центры квадратов, построенных внешним
образом на сторонах
AB,
BC и
CA. Рассмотрим поворот на
90
o
с центром
R, переводящий
C в
A. При повороте на
90
o в том
же направлении с центром
P точка
A переходит в
B. Композиция
этих двух поворотов является поворотом на
180
o, поэтому центр
этого поворота — середина отрезка
BC. С другой стороны, центр
этого поворота является вершиной равнобедренного прямоугольного
треугольника с основанием
PR, т. е. является центром квадрата,
построенного на
PR. Этот квадрат построен на стороне треугольника
PQR именно внутренним образом.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
книга |
|
Автор |
Прасолов В.В. |
|
Год издания |
2001 |
|
Название |
Задачи по планиметрии |
|
Издательство |
МЦНМО |
|
Издание |
4* |
|
глава |
|
Номер |
18 |
|
Название |
Поворот |
|
Тема |
Поворот |
|
параграф |
|
Номер |
4 |
|
Название |
Композиции поворотов |
|
Тема |
Композиции поворотов |
|
задача |
|
Номер |
18.036 |
