Условие
Для данного треугольника
ABC, один из углов которого больше
120
o,
найдите точку, сумма расстояний от которой до вершин минимальна.
Решение
Пусть для определённости
A =
> 120
o. Докажем, что искомая
точка — вершина
A. Рассмотрим поворот с центром
A на угол
= 180
o -
, при котором вершина
B переходит в точку
B', лежащую на продолжении стороны
AC за точку
A. Пусть точка
O,
отличная от
A, при этом повороте переходит в точку
O'. Треугольник
OAO'
равнобедренный с углом при вершине
< 60
o. Поэтому
OO' <
AO, а
значит,
OA +
OB +
OC >
OO' +
O'B' +
OC
CB' =
AC +
AB. Но
AC +
AB — это как раз и есть
сумма расстояний от точки
A до вершин треугольника
ABC.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
книга |
|
Автор |
Прасолов В.В. |
|
Год издания |
2001 |
|
Название |
Задачи по планиметрии |
|
Издательство |
МЦНМО |
|
Издание |
4* |
|
глава |
|
Номер |
18 |
|
Название |
Поворот |
|
Тема |
Поворот |
|
параграф |
|
Номер |
3 |
|
Название |
Повороты на произвольные углы |
|
Тема |
Поворот (прочее) |
|
задача |
|
Номер |
18.029B |
