Задача 57933

Тема:    [ Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$ ]

Сложность: 4 Классы: 9

Условие

Найдите геометрическое место точек M, лежащих внутри правильного треугольника ABC, для которых MA² = MB² + MC².

Решение

При повороте на 60^o с центром A, переводящем B в C, точка M переходит в некоторую точку M', а точка C — в точку D. Равенство MA² = MB² + MC² эквивалентно равенству M'M² = M'C² + MC², т. е. тому, что MCM' = 90^o, а значит, MCB + MBC = MCB + M'CD = 120^o - 90^o = 30^o, т. е. BMC = 150^o. Искомое ГМТ — дуга окружности, лежащая внутри треугольника, из которой отрезок BC виден под углом 150^o.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	18
Название	Поворот
Тема	Поворот
параграф
Номер	2
Название	Поворот на 60 градусов
Тема	Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$
задача
Номер	18.014