Задача 57887

Тема:    [ Симметриия и неравенства и экстремумы ]

Сложность: 6 Классы: 9

Условие

В данный остроугольный треугольник впишите треугольник наименьшего периметра.

Решение

Пусть PQR — треугольник, образованный основаниями высот треугольника ABC, P'Q'R' — любой другой треугольник, вписанный в треугольник ABC. Пусть, далее, точки P₁ и P₂ (соответственно, P₁' и P₂') симметричны точке P (соответственно P') относительно прямых AB и AC (рис.). Точки Q и R лежат на отрезке P₁P₂ (см. задачу 1.57), поэтому периметр треугольника PQR равен длине отрезка P₁P₂. А периметр треугольника P'Q'R' равен длине ломаной P₁'R'Q'P₂', т. е. он не меньше длины отрезка P₁'P₂'. Остается заметить, что (P₁'P₂')² = P₁P₂² + 4d², где d — расстояние от точки P₁' до прямой P₁P₂.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	17
Название	Осевая симметрия
Тема	Осевая и скользящая симметрии
параграф
Номер	3
Название	Неравенства и экстремумы
Тема	Симметриия и неравенства и экстремумы
задача
Номер	17.021