Информация о задаче

Задача 57876

Тема:

[

Симметрия и построения

]

Сложность: 4
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Дан острый угол MON и точки A и B внутри его. Найдите на стороне OM точку X так, чтобы треугольник XYZ, где Y и Z — точки пересечения прямых XA и XB с ON, был равнобедренным: XY = XZ.

Решение

Пусть проекция точки A на прямую ON лежит ближе к точке O, чем проекция точки B. Предположим, что равнобедренный треугольник XYZ построен.
Рассмотрим точку A', симметричную точке A относительно прямой OM. Опустим из точки X перпендикуляр XH на прямую ON (рис.). Так как $\angle$ A'XB = $\angle$ A'XO + $\angle$ OXA + $\angle$ YXH + $\angle$ HXZ = 2 $\angle$ OXY + 2 $\angle$ YXH = 2 $\angle$ OXH = 180^o - 2 $\angle$ MON, то угол A'XB известен. Точка X является точкой пересечения прямой OM и дуги, из которой отрезок A'B виден под углом 180^o - 2 $\angle$ MON. При этом проекция точки X на прямую ON должна лежать между проекциями точек A и B.
Обратно, если $\angle$ A'XB = 180^o - $\angle$ MON и проекция точки X на прямую ON лежит между проекциями точек A и B, то треугольник XYZ равнобедренный.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	17
Название	Осевая симметрия
Тема	Осевая и скользящая симметрии
параграф
Номер	2
Название	Построения
Тема	Симметрия и построения
задача
Номер	17.010