ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57846
Темы:    [ Композиция центральных симметрий ]
[ Свойства симметрии и центра симметрии ]
Сложность: 3
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

а) Докажите, что композиция двух центральных симметрий является параллельным переносом.
б) Докажите, что композиция параллельного переноса и центральной симметрии (в обоих порядках) является центральной симметрией.

Решение

а) Пусть точка A при центральной симметрии относительно точки O1 переходит в точку A1, точка A1 переходит при симметрии относительно O2 в точку A2. Тогда O1O2 — средняя линия треугольника AA1A2 поэтому $ \overrightarrow{AA_2}$ = 2$ \overrightarrow{O_1O_2}$.
б) Пусть O2 — образ точки O1 при переносе на вектор  a/2. Согласно задаче а) SO2oSO1 = Ta. Умножая это равенство на SO1 справа или на SO2 слева и учитывая, что SXoSX — тождественное преобразование, получаем SO1 = SO2oTa и  SO2 = TaoSO1.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 16
Название Центральная симметрия
Тема Центральная симметрия
параграф
Номер 2
Название Свойства симметрии
Тема Свойства симметрии и центра симметрии
задача
Номер 16.009

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .