Условие
Докажите, что медианы треугольника
ABC пересекаются в одной
точке и делятся ею в отношении 2 : 1, считая от вершины.
Решение
Поместим в точки
A,
B и
C единичные массы. Пусть
O —
центр масс этой системы точек. Точка
O является также центром
масс точки
A с массой 1 и точки
A1 с массой 2, где
A1 —
центр масс точек
B и
C с единичными массами, т. е.
A1 —
середина отрезка
BC. Поэтому точка
O лежит на медиане
AA1 и делит ее в отношении
AO :
OA1 = 2 : 1. Аналогично доказывается,
что остальные медианы проходят через точку
O и делятся ею в отношении 2 : 1.
Источники и прецеденты использования
